LA GEOMETRIA SEGÚN DESCARTES

Es increible, cómo, de una manera tan sencilla pero tan diferente Descartes le da todo un viraje a la geometría ya que, con toda la razón como alguien dice "Pareciera que Descartes hubiera nacido directamente de los Griegos" él se inquietó por la concepción geometrica que los griegos le dieron a la materia, empezando por que para ellos era inaceptable aceptar un a^n donde n sea mayor que 3.

Sin embargo, y lo mejor del cuento, es que leer sus libros sobre Geometría, a mi parecer, es una de las cosas mas difíciles cuando se es iletrado y lejano de una cultura que dice ser "Matemática" (digo dice ser, porque hay quienes creen estar dentro del cuento de la matemática, usando simplemente una vaga palabreria, ya que el estudio de ésta es tan amplio y tan evasor, es decir, difícilmente se encuentran persona enamoradas de la materia, porque en la educacion básica y media, se han presentado a las Matematicas como un Mounstruo a eliminar), porque, Descartes, con delicadeza y con sensatez, comienza su libro con una Advertencia ("Hasta aquí he intentado que cualquier persona pudiera entender mis escritos; sin embargo, temo que este tratado no podrá ser leído sino por aquellos que ya tienen conocimiento de los que se expone en lso estudios de Geoemtría pues, considerando que incluyen verdades muy correctamente demostradas que me han sido de gran ultilidad, he considerado superfluo repetirlas.")

 

Alguito de Descartes...

En realidad, Descartes, como dice Hamelin, «parece venir inmediatamente después de los antiguos».

En el juicio corriente de la época de Descartes, un error de perspectiva era castigado de manera severisima, por lo cual, la educación infantil y juvenil estaba regida mas o menos por éstos parámetros: «Cuiden muy bien los maestros de no apartarse de Aristóteles, a no ser en lo que haya de contrario a la fe o a las doctrinas universalmente recibidas... Nada se defienda ni se enseñe que sea contrario, distinto o poco favorable a la fe, tanto en filosofía como en teología.Nada se defienda que vaya contra los axiomas recibidos por los filósofos, como son que sólo hay cuatro géneros de causas, que sólo hay cuatro elementos, etc.... etcétera...», puesto que el paupérrimo pensamiento causante de una ceguera absoluta por falsas ideas atrasaron, en la historia, un período de casi diez siglos, siglos de guerra y destrucción en cuanto a la materia y al enriquecimiento mismo del alma del hombre, siglos de pérdida de, muy seguramente, grandes intelectuales y artistas, que metamorfosearon unos siglos antes del período que ellos mismos habían gestado por mucho tiempo. Sin embargo, la luz del renacimiento empezaba a vislumbrar de modo que, ni la Iglesia por grande y poderosa que fuera, pudiera disipar el pensamiento y la riqueza espiritual que se venia concibiendo.

Se dice que, la conciencia individual es el más grande invento del nuevo modo de pensar. Y todo en la ciencia, en el arte, en la sensibilidad renacentista se orienta hacia esa exaltación de la subjetividad del hombre. Pensar que Descartes tuvo una innominable conciencia individual, no es ninguna mentira, sólo hace inducir que quizá por ésta razón algunas de sus teorías ya fueron refutadas, sin embargo, en su momento, fueron de gran ayuda para el desarrollo tanto científico como filosófico. Así, pues, por una parte, la exigencia máxima del espíritu científico es, en el Renacimiento, la claridad evidente de la razón individual; por otra parte, la solidez de la Nueva Ciencia que estaba próxima a venir, provieniente ante todo de su carácter matemático y experimental; en fin, la fuente purísima de todo valor, especulativo y práctico, se encuentra ahora en el sujeto, en la interioridad de la reflexión personal creadora. Todos estos nuevos anhelos, esa nueva sensibilidad teórica y moral, imponen nuevos rumbos al pensamiento filosófico; danle por de pronto libertad para manifestarse original y creador; pero también le indican una orientación inédita, y, por decirlo así, un problema virgen: hallar una definición del hombre que baste a explicar la objetividad de su producción científica artística.

Descartes es el primero que sistemáticamente edifica la filosofía de este nuevo mundo mental.

En el discurso del Método, Descartes expresa su profunda preocupación y su duda en cuanto a las ciencias enseñadas en la educación básica, sin embargo, él rinde un honor al Colegio al cual perteneció, la Flèche: "El curso de filosofía duraba tres años. El primero se dedicaba al estudio de la lógica de Aristóteles. Leíanse y comentábanse la Introducción de Porfirio, las Categorías, el Tratado de la interpretación, los cinco primeros capítulos de los Primeros analíticos, los ocho libros de los Tópicos, los Últimos analíticos, que servían de base a un largo desarrollo de la teoría de la demostración, y, por último, los diez libros de la Moral. En el segundo año estudiábanse la Física y las Matemáticas; en el tercer año se daba la Metafísica de Aristóteles. Las lecciones se dividían en dos partes: primero el maestro dictaba y explicaba Aristóteles o Santo Tomás; luego el maestro proponía ciertas quæstiones sacadas del autor y susceptibles de diferentes interpretaciones. Aislaba la quæstio y la definía claramente, la dividía en partes, y la desenvolvía en un magno silogismo, cuya mayor y menor iba probando sucesivamente. Los ejercicios que hacían los alumnos consistían en argumentaciones o disputas. Al final del año algunos de estos certámenes eran públicos". Concede a esta educación filosófica el mérito de aguzar el ingenio y proporcionar agilidad al intelecto; pero le niega, en cambio, toda eficacia científica: no nos enseña a descubrir la verdad, sino sólo a defender verosímilmente todas las proposiciones (Generalmente, cuando somos adolescentes, solemos discutir, pelear y luchar en contra de pensamientos sin razón de causa, sin embargo, cuando nos volvemos viejos adoptamos éstas ideas como tesis para determinar nuestra realización personal. Definitivamente, debemos buscar los argumentos necesarios, creerlos y, sobre todo vivirlos para poder ir en contra de ciertas ideologias trazadas en nuestra realidad, no con ésto quiero decir que dejemos de pensar en convertirnos entes mas de la sociedad de Control, sino que por el contrario, quiero decir que para lograr algo verdaderamente válido, es necesario liberar la Razón con ideas lógicas y reales).

Los orígenes del Método, según escribe Descartes, están en las Matemáticas y en la Filosofía; en la primera en cuanto a un análisis geométrico y el estudio del álgebra y en la segunda en la lógica y todos sus silogismos. "Gustaba sobre todo de las matemáticas, por la certeza y evidencia que poseen sus razones; pero aun no advertía cuál era su verdadero uso y, pensando que sólo para las artes mecánicas servían, extrañábame que, siendo sus cimientos tan firmes y sólidos, no se hubiese construido sobre ellos nada más levantado. Y en cambio los escritos de los antiguos paganos, referentes a las costumbres, comparábalos con palacios muy soberbios y magníficos, pero construidos sobre arena y barro: levantan muy en alto las virtudes y las presentan como las cosas más estimables que hay en el mundo; pero no nos enseñan bastante a conocerlas y, muchas veces, dan ese hermoso nombre a lo que no es sino insensibilidad, orgullo, desesperación o parricidio."

Los orígenes del método están, según nos cuenta Descartes (Discurso), en la lógica, el análisis geométrico y el álgebra. Conviene ante todo insistir en que el gravísimo defecto de la lógica de Aristóteles es, para Descartes, su incapacidad de invención. El silogismo no puede ser método de descubrimiento, puesto que las premisas -ante la posibiidad de ser falsas- deben ya contener la conclusión. Ahora bien, Descartes busca reglas fijas para descubrir verdades, no para defender tesis o exponer teorías. Por eso el procedimiento matemático es el que, desde un principio, llama poderosamente su atención; este procedimiento se encuentra realizado con máxima claridad y eficacia en el análisis de los antiguos. Según Euclides el análisis consiste en admitir aquello mismo que se trata de demostrar y, partiendo de ahí, reducir, por medio de consecuencias, la tesis a otras proposiciones ya conocidas. Descartes explica también lo que es el análisis en un pasaje de la Geometría: «... Si se quiere resolver un problema, hay que considerarlo primero como ya resuelto y poner nombres a todas las líneas que parecen necesarias para construirlo, tanto a las conocidas como a las desconocidas. Luego, sin hacer ninguna diferencia entre las conocidas y las desconocidas, se recorrerá la dificultad, según el orden que muestre, con más naturalidad, la dependencia mutua de unas y otras... » • Pero, si ya de antemano sabemos la conclusión, entonces se ve bien claro que el silogismo sirve más para exponer o defender verdades, que para hallarlas

(Algunas fotitos de la Majestuosa
obra de Miguel Ángel. (Se las recomiendo como para que recreen un poco su espiritu a través de cosas de veritas!!! super bonita))

http://www.anarkasis.com/eroticon/1506_miguel_angel/home.htm

ALGO SOBRE LA HISTORIA DE LA LOGICA (Antes y con Descartes)

(Sigue en construcción)

Junio 2 de 2006

Para poder hablar sobre la historia de la Lógica, me parece importante que partamos del objetivo principal de LÓGICA MATEMÁTICA, por supuesto:

"El objetivo de la lógica matemática es cuestionar con el mayor rigor los conceptos y las reglas de deducción utilizados en matemáticas, constituyendo la lógica por ello una verdadera metamatemática.* Por ejemplo, en un sistema axiomático, se consideran los objetos definidos, las leyes que relacionan a éstos objetos entre si (Es decir, los axiomas de la teoría), de allí, se pueden deducir nuevas proposiciones (Teoremas), y en ocaciones, nuevos objetos. La construcción de sistemas formales, piedra angular de la lógica matemática, permite eliminar la arbitrariedad en la elección de los axiomas y definir explícita y exhaustivamente las reglas de la deducción matemática."

Esta información nos remite al sistema axiomático según Hilbert, lo cual nos haría pensar que la lógica logró su verdadero objetivo desde el siglo XX, es decir que antes había nada. Desde luego, no tiene sentido concluir ésto, puesto que todo descubrimiento, toda nueva teoría, todo nuevo conocimiento se ha ido gestando desde antes de ser concebido. Incluso, Descartes nombra haber aprendido la lógica de Aristóteles, diciendo ademas que no esta seguro de que con todo y sus silogismos, sea rigurosa.

Ahora bien, si se relaciona a la lógica como una forma de razocinio, entonces se podría decir que la lógica está estrechamente relacionada con la evolución en el campo intelectual del hombre. Por ejemplo, Poncaire divide la evolución de la lógica en cinco etapas o revoluciones, las cuales se presentan entre el rigor y la formalidad, a la creatividad y el caos. Él identifica las etapas como:

• Revolución matemática
• Revolución ciéntifica.
• Revolución formal
• Revolución digital
• Revolución lógica

Sin embargo, si se tiene en cuenta, en el objetivo de la lógica, aquella idea que habla sobre su utilidad para los formalismos, podríamos decir que la lógica, en este sentido existe desde hace muchos años, incluso varios siglos antes de Cristo. De hecho, los griegos tuvieron varios afanes en su tiempo. Uno de ellos fue compilar la información y los conocimientos, y otro, quizá el que le abrió todo un campo a la matemática: El hecho de formalizar todos los teoremas propuestos, el hecho de probar y refutar, el hecho de criticar, el hecho de comprobar y verificar y, dejar a un lado el método primitivo de demostraciones inductivas para, dar un paso gigantesco, a las deducciones y razocinios de acuerdo a ciertas leyes lógicas. Todo esto como aporte de Aristóteles.

Además, Euclides en cierto modo trabaja un sistema axiomático:

• Sus definiciones
• Con sus nociones comunes
• Sus teoremas y, finalmente,
• Sus demostraciones

Éstas tienen algo de las características del sistema axiomático.

UNIVERSIDAD DISTRITAL. GEOMETRIA ANALITICA

*METAMATEMATICA: "Su contenido, habla básicamente de la abstracción de las matemáticas en la que las teorías matemáticas son sustituidas por sistemas formales, pruebas mediante circunstancias, secuencias de formula bien-formadas y definiciones mediante “expedientes abreviatorios”. Fue Hilbert quien ideó esta abstracción, a fin de disponer de una técnica poderosa para abordar algunos de los problemas de la metodología de las matemáticas. (LACATOS, Imre. Pruebas y refutaciones)

MEDIDAS EN EL PLANO

Junio 2 de 2006

(Aún en Construcción)

CONTINUIDAD

El hecho de que los segmentos, los angulos y las regiones poligonales puedan ser representados de alguna forma con cierta unidad de medida dada por la magnitud, la amplitud o el area. Tales cantidades se conocen hoy con el nombre de magnitudes geometricas los cuales estan dados por numeros reales. ¿Qué huebiese pasado si Descartes y a Fermat no se hubieran interesado en el estudio de un mejor metodo de la Geometria? ¿Qué hubiera pasado si los sucesores de tales genios en la creatividad hubieran desechado las teorias?

Una ayuda bastante relevante es el hecho de decir que se puede dividir una cantidad en un numero cualquiera de partes iguales.

AXIOMA DE CONTINUIDAD:

ARQUIMEDES

“Sean AB y CD segmentos arbitrarios, entonces sobre la recta AB existe un numero finito de punto A1, A2,…, An-1, An, situados de tal manera que A1 esta entre A y A2, A2 esté entre A1 y A3l, etc, tales que los segmentos AA1, A1A2, …, An-1ªn son congruentes al segmeto CB y B eesta entre A y An.

Este axioma, permite definir que cada segmento puede ser determinado de una manera unica de acuerdo con la unidad que se este manejando, entonces, de aquí puede partir el hecho de hacer que puntos, determinen cierta referencia en rectas y planos.

Entonces, sea una recta x, que pertenece a un plano determinado, un punto O, que lo vamos a llamar origen, el cual pertenece a la recta x. Ahora, sea un segmento AB que determinará la unidad. Entonces, desde el punto O, existiran semirrectas por izquierda y por derecha, las cuales las llamaremos – por conveniencia – semirrecta negativa y positiva respectivamente, en las cuales se pueden trazar segmentos congruentes de tal manera que representen en los reales cada segmento, n + 1 para todo n que pertenezca a los numeros enteros.

Entonces, se puede decir que la recta x, será un sistema de referencia. Ahora bien, x determinará dos semiplanos, entonces, para determinar un sistema de referencia en el plano, podemos trazar una recta y, perpendicular a x, en el punto de Origen,